- 李长明;
<正> 正弦定理是反映三角形边角关系的一个重要定理,其重要性也表现在它有着极其广芝的应用上。然而,通常只把它在数量上精确地应用在有关边、角之量的计算上。但是,在几何中涉及线段或角度之相等或不等的证明题,又何尝不可通过精确的计算而给以严格的判定。对此,我们不妨以1989年全国高中数学联赛第二试的第1题: “已知:在△ABC中,AB>AC,∠A的一个处角的平分线交△ABC的外接圆于点E,过E作EF⊥AB,垂足为F。求证:2AF=AB-AC(1)”为例,就两个方面加以阐述。 (一)少引或不引辅助线在公布的几个解答中,都是借助于全等
1991年02期 1-3页 [查看摘要][在线阅读][下载 168K] - 杨胜华;
<正> 当代世界教学内容改革的三大趋势之一就是教学内容反映现代科技的新成果,加强对学生的科学启蒙教育,培养学生的创造精神和创造能力。同时,当代世界教学方法改革的重要趋势之一就是心理学研究成果已成为现代教学方式发展的重要基础和前提。基于上述两方面,本文阐述笔者运用心理学关于创造教育的成果来指导数学教学实践,对学生创造性思维能力培养进行探索。要创造,必须要有创造的欲望。心理学的研究表明,创造欲望与创造效果成正相关。因此,在数学教学中,要不失时机地激发学生创造的欲望。但欲望起源于需要,需要产生动机,动机激发欲望,欲望导致创造发明。例如,在讲授二次函数时,为使学生感到学习二次函数的需要,不妨提出下述问题: 将6米长的一根木料,下料制成一个矩形的窗户,中间有一横衬,问如何下料使窗户透过的光线最
1991年02期 3-4页 [查看摘要][在线阅读][下载 132K] - 李淑敏;王振廷;
<正> 苏霍姆林斯基曾说过:“一个人到学校里来上学,不仅是为取得一份知识的行囊,而主要是为了变得更聪明。因此,他们的主要智力努力,就不应当用在记忆上,而应当用到思考上去。真正的学校应当是一个思考的王国。”使学生在学校里学习知识的同时,学会思考,这是教师的天职。所以,不断改进教法,让学生把知识学活进而形成技能,是摆在教师面前的一个常新的课题,现代教学中卓有成效的改革实验都证明:只有真正把学生当作学习的主人,才能真正实现使学生从“学会”向“会学”的转变。下面,仅就改革课堂教法的一些实践,谈几方面体会。一、教师引导的目的在于激发学生思考为了使引导恰到好处,教师首先必须在新旧知识的联系上铺垫阶梯,作好导向工作。比如,在学习同底数幂相乘的运算时,我先给学生列出2~2×2~3;2~2×
1991年02期 5-7页 [查看摘要][在线阅读][下载 224K] - 程毅;
<正> 课题复平面上点的轨迹问题目的使学生会用参数法解决简单的复平面上点的轨迹问题,并通过本节课的教学提高学生综合分析能力。课型习题课。教法讲练结合,启发式过程:例1 已知复平面上A、B两点表示的复数分别是1+i和1-i。表示复数z的动点N在线段AB上移动,求复数z~2所对应的点M的轨迹。轨迹的探求:(由老师引导学生解答下列问题) (1)如图1当N点分别落在A、B、E三点上,相应的M点会分别落在哪些地方? 答:利用公式|z~2 |=|z|~2,和argz~2=2argz(或者argz~2=2argz-2π)可知点M依次落在图1中的C、D、E上。
1991年02期 7-8页 [查看摘要][在线阅读][下载 112K] - 陈炆;
<正> 纵观十年来尤其近六年来的高考试题,无论是从命题方向还是从命题原则看,越来越趋于稳定。其具体表现在以下三个不变上:一是考基础、考课本、考能力不变(即三考不变);二是考基本知识、基本概念、基本技能、基本方法不变(即四基不变);三是考题不超大纲、不超教材(即纲本原则不变)。稳是相对的,而稳中也有变。这种变主要体现在题型有所变动;侧重点有所转移;难度时起时伏。前两个变是为适应教学和便于选拔人材的需要,而后一个变却说明我们对大纲、对教材的熟悉程度和理解深度还不够。由于对这种稳定与变动及难度的波动的认识不正确,有许多教师总认为课本习题适应不了高考需要,因此在帮助学生进行总复习时,往往不再去和学
1991年02期 8-10页 [查看摘要][在线阅读][下载 209K] - 潘正矩;
<正> 与复合函数有关的求函数解析式的问题,由于其题型新颖,因而流传颇广。但其中不少习题在编拟和解答时常出现了一些疏漏或不妥之处。文[1]曾给出了复合函数存在的充要条件: 定理若外层函数y=f(u)的定义域为M,内层函数a=g(x)的值域为N,则复合函数Y=f[g(x)]存在的充要条件是M∩N≠φ,其中间变量u的可取值集即为M∩N。值得注意的是这个定理所隐含的复合函数存在的其体情形应有且仅有如下四种: (i)N=M。如函数y=Ige~z; (ii)NM。如函数y=lg(x~2+2); (iii)NM。如函数y=lg(e~2-2); (iv)N、M间互不包含但N∩m≠φ,如函数y=lgsinx。本文根据上述定理来讨论这些与复合函数有关
1991年02期 11-13页 [查看摘要][在线阅读][下载 156K] - 丁并桐;
<正> 如果我们规定圆锥曲线所围的那部份包含焦点的区域称为圆锥曲线的内部区域;同时坐标平面被圆锥曲线的所划分的另一部分区域称为圆锥曲线的外部,那么这两个区域可以分别用二元二次不等式表示出来。 1.椭圆内部区域可表示为{(x,y)|b~2x~2+a~2y~2<a~2b~2},椭圆外部区域可表示为{(x,y)|b~2x~2+a~2y~2>a~2b~2}。 2.圆的内部区域可表示为{(x,y)|x~2+y~2<R~2};圆的外部区域可表示为{(x,y)|x~2+y~2>R~2}。 3.双曲线的内部区域可表示为{(x,y)|b~2x~2-a~2y~2>a~2b~2};双曲线的外部区域可表示为{(x,y)|b~2X~2-a~2y~2<a~2b~2}。 4.抛物线的内部区域可表示为{(x,y)|y~2<2px};抛物线外部区域可表示为{(x,y)|
1991年02期 13-14页 [查看摘要][在线阅读][下载 77K] - 李刚;
<正> ~~
1991年02期 14-16页 [查看摘要][在线阅读][下载 117K] - 陈德前;
<正> 在解答几何问题时,我们经常要求学生注意问题的一般性,谨防特殊代替一般的错误。但解题实践告诉我们,仅强调这一面是不对的,有些几何问题,巧妙地应用满足题设条件的特殊元素,常能收到事半功倍之效,因此在教学中我们也必须引导学生去研究另一面——问题中的特殊情况。现按所取特殊元素的不同,举例归纳如下,供教学时参考。一、取特殊值例1 如图1,在Rt△ABC中,AC=BC,DEF弧的圆心为A,如果图中的两个阴影部分的面积相等,那么
1991年02期 16-17页 [查看摘要][在线阅读][下载 76K] - 叶添善;唐雪琴;
<正> 代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x+cos~2x=1,得a~2+b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2+b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2+b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx)+1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组
1991年02期 17-18页 [查看摘要][在线阅读][下载 65K] - 刘让步;
<正> 在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1+1)+f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1+2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1+3)+f(x_1+1)=2f(x_1+2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 +3)=f(x_1-1) 令x_1=x+1得f(x+4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,
1991年02期 18-19页 [查看摘要][在线阅读][下载 62K] - 程金辉;
<正> 一、选择题 1.若A∪B=A∪C,则下列各式中成立的是( )。 (A)B=C;(B)AB=c; (C)AB且AC;(D)其它. 2.如果定义域为(0,+∞)的函数f(x)是减函数,那么f[a~x](a>O,a≠1)一定是( )。 (A)增函数; (B)减函数; (C)0<a<1时是增函数,a>1时是减函数; (D)0<a<1时是减函数,a>1时是增函数。 3.已知sina+cosa=1,则tga+ctga的值为( )。 (A)1;(B)2;(C)0;(D)不存在。 4.若-π/2<a<0,则直线y=xctga的倾斜角是( )。 (A)a;(B)π/2-a; (C)a-π/2;(D)π+a. 5.若a、b为实数,且a+b=3,则2~a+2~b
1991年02期 19-22页 [查看摘要][在线阅读][下载 158K] - 杨之;
<正> 为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n+1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为
1991年02期 22-24页 [查看摘要][在线阅读][下载 135K] - 陈胜利;
<正> (一)Vasic不等式的构造性证明 1964年,Vasic推广ABC中的不等式sinA+sinB+sinC≤3~(1/3)/2为: xsinA+ysinB+zsinC ≤3~(1/2)/2(yx/x+zx/y+xy/z)(x,y,z>0)(1)1989年,杨世明老师据“母不等式”: λ~2+μ~2+y~2≥2μycosA+2yλcosB+2λμgcosC (2)对(1)作了一个别出心裁的构造性证明,大意是: 3~(1/2)/3sinA+3~(1/2)/3+3~(1/3)/3sinC≤3/2,
1991年02期 24-26页 [查看摘要][在线阅读][下载 115K] - 叶军;杨林;
<正> 一、引言本世纪中叶,Lucic和Djokovic给出不等式:设 Su(p,q)=1/pn+1 +1/pu+2+…+1/qn+1/qn+1 (其中n,p,q∈N,p<q),则 In5/3<Sn(3,5)≤37/60(1) 1969年,文[1]进一步证明:对任意给定自然数p,q,(P<q),有 1.若q≤(5/2)p,p≠2a+1或q≠5a+b(a=2,3,…;b=1,2),则数列{Sn(p,q)}单调递减,且Inq/p<Sn(p,q)≤S_1(p,q)(n=1,2…) (2)而上界是最好的。Ⅱ.若q≤3p,则{Sn(p,q)}单调递增,且S_1(p,q)≤S.(p,q)<Inq/p(n=1,2,…) (3)而上、下界均为最好的。
1991年02期 26-28页 [查看摘要][在线阅读][下载 130K] - 陆海泉;
<正> 如果直线l与x轴和y轴的交点分别是A(a,0)和B(0,b),那么,a和b分别叫做l在X轴和y轴上的截距。又称横截距和纵截距。因对截距的概念不清,而常常会导致以下几种解题错误。一、混淆了“截距”与“距离”两个不同的概念例1 求过点p(2,1)且在两轴上的截距相等的直线与两轴围成的三角形的面积。错解:依题意,当k=1时,直线x-y-1=0与两轴围成的三角形面积是1/2,当x=-1时,直线x+y-3=0与两轴围成的三角形面积是9/2。剖析:因截距可正可负,故当k=1时,直
1991年02期 28页 [查看摘要][在线阅读][下载 48K] - 于春生;
<正> 什么是叠加法?美著名数学家波利亚是这样说的:“从一个先导特殊情况出发,通过特殊情况的叠加,我们得到一般解。”下面就平几问题仅举两例。例1 如图1,点P是矩形ABCD外任一
1991年02期 29页 [查看摘要][在线阅读][下载 37K] - 陈海涛;
<正> 莫利定理是三角形中的一个非常美秒的定理,如图、AB_o、AC_o、BA_o、BC_o、CA_o、CB_o、是△ABC的内角三等分线,则△A_oB_oC_o是正三角形。莫利定理的证明一般都用同一法,下面给出一种三角的证明。这里,要用到一个三角等式: sin30=4sinosin(π/3-o)sin(π/3+o) 运用三角函数的积化和差公式、即得 4sinosin(π/3-o)sin(π/3+o)
1991年02期 29-30页 [查看摘要][在线阅读][下载 71K] - 徐荣贵;
<正> 公式若注意其特点,巧解妙证一些题,真是别有情趣。例1 求函数f(x)=1-cos2x+1+cos2x~(1/2)的最小正周期。解由(＊)得解由a在二象限知sina>0, cosa<0 由(＊)得原式=2+2cosa~(1/2)+1-sina~(1/2)-1+sina~(1/2)
1991年02期 30页 [查看摘要][在线阅读][下载 34K] - 周以宏;
<正> 题目已知p为△ABC内一点,BC=a,CA=b,AB=c,点p到△ABC的三边BC、CA和AB的距离分别为d_1、d_2、d_3。求证:a/d_1+b/d_2+c/d_3≥(a+b+c)~2/2S△ABC。(第22届IMO试题) 本题如用纯几何法论证,颇为繁琐!注意
1991年02期 30-31页 [查看摘要][在线阅读][下载 82K] - 史树德;
<正> 立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。
1991年02期 31页 [查看摘要][在线阅读][下载 48K] - 梅平;
<正> 题:解方程组解:观察方程组的特征易看出左边相加有1+(1+y)(1+z),且右边相加为1,故有如下简捷解法: ①+②,整理得:(1+y)(1+z)=0, ∴1+y=0,1+z=0,即y=-1,z=-1 故原主程组的解为{y=-1,z=-1。} 由上述方程组及其解,我们有一个意外的收获——韦达定理之逆定理的一个反例: 原主程组实际为:{yz=4 y+z=-5} 由韦达定理逆定理知满足此方程组即满足原方程组的y、z之(实数)值应为方程x~2+5x+4=0的两根; 从上述原方程组的解显见y=-1,z=-1,则有x~2+5x+4=0有二重根,应有△=0;
1991年02期 31页 [查看摘要][在线阅读][下载 48K] - 邱国生;
<正> 众所周知,过一点的双曲线最多只有两条切线。但是,笔者却可以求出四条。题:求通过点p(O,-1)的双曲线x~2-4y~2=1的切线。解:设过点P的切线方程为y=kx-1,下面由切线与双曲线有唯一交点来确定k。把y=kx-1代入x~2-4y~2=1并整理,得 (1-4k~2)x2+8kx-5=0 (＊) 当1-4k~2=0,即k=±1/2时,方程(＊) 有唯一解,从而直线与双曲线有唯一交点。当1-4k≠0时,令△=16k~2+20(1-4k~2)=0得k=±5~(1/2)/4,即k=±5~(1/2)/4也为所
1991年02期 32页 [查看摘要][在线阅读][下载 35K] - 钱展望;
<正> 一、放缩放缩是不等式证明中一种重要的变形技巧,它的一般形式是欲证A≥B,可借助一个或多个中间量通过适当的放大,使得 B≤B_1 ,B_1≤B_2,…,B_n≤B_n,B_n≤A或通过适当的缩小,使得 A≥A_1,A_1≥A_2,…,A_n1≥A_n,A_n≥B利用传递性达到目的。例1 已知a,b,c∈[0,1],求证: a/b+c+1+b/c+a+1+c/a+b+1+(1-a)(1-b)××(1-c)≤1 证明显然,对不等式(1)左边进行通分会使问题变得更为复杂,由对称性,可令o≤a≤b≤c≤1,将左边放大
1991年02期 32-35页 [查看摘要][在线阅读][下载 143K] - 祁锦英;
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1991年02期 35-39页 [查看摘要][在线阅读][下载 220K] - 吴莫林;
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1991年02期 39-42页 [查看摘要][在线阅读][下载 170K] - 马积祥;王剑明;
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1991年02期 43-45页 [查看摘要][在线阅读][下载 109K] - 赖宗靖;
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1991年02期 45-46页 [查看摘要][在线阅读][下载 82K] - 方亚斌;
<正> 已知两两互异的实数a_1,a_2,…,a_n,求表达式y=|x-a_1|+|x-a_2|+…+|x-a_n |(x为实数)所定义的函数的最小值。这是波兰的一道数学竞赛题,我们将其归结为如下结论: 定理如果a_1<a_2<…<a_n,m是函数f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+…+|x-a_n|(x为实数,下同)的最小值,那么 i)当n是奇数时,m==f(a_n+1/2); ii)当n是奇数时,m=f(t)(其中,a_n/2≤t≤an/2+1)。为证明这一结论,我们先证下述引理设a<b,则当a≤x≤b时,函数f(x)=|x-a|+|x-b|取小值,且最小值为b-a。证明设点p、A、B分别对应于数轴上
1991年02期 47-48页 [查看摘要][在线阅读][下载 82K] - 蔡水明;
<正> 立体几何中的某些题目,其题设所给图形结构虽不是一个完整的几何体,但我们可以对它配置一个熟悉的形体,但我们可以对它配置一个熟悉的形体,把原有图形纳入该几何体中成为它的某些元素,利用这样的辅助几何体作为衬托原有图形有直观背景,就往往容易显现出有关元素的位置关系和数量关系,因而也就便于获得清晰、简明的解题思路,使问题的解决化生为熟、化难为易。这就是本文所要介绍的“立体配置法”,它是一种与“补形法”貌同实异的立几解题技巧。现举数例以作说明: 例1 已知直线l上有两个定点A、B,线段AC⊥l,线段BD⊥l,若AC=BD=a,AB=3a,且AC和BD所成的角为120°,求AB和CD所成的角及AB和CD间的距离。
1991年02期 48-49页 [查看摘要][在线阅读][下载 83K] - Б·С.普利茨开尔;郑元禄;
<正> 中学数学实际上计算了两种凸四边形(平行四边形和梯形)的面积。对于不是平行四边形或梯形的四边形,没有推导出它的面积公式。因此,我们来考虑任意凸四边形面积的计算公式,如果考虑到其某种外形相似处,那么可以把这个公式叫做海伦公式的类似公式。定理:任意凸四边形面积可按照下列公式确定: S=A-abcd 2cos~2δ+β/(1/2)其中A=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),a,b,c,d是边长,p是半周长,δ和β是四边形的对角。证明设在四边
1991年02期 49-50页 [查看摘要][在线阅读][下载 75K] <正>~~
1991年02期 50页 [查看摘要][在线阅读][下载 35K]