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2025年高考数学Ⅰ卷第19题为本卷的压轴题,以三角函数为载体,三问层层递进．文章重点围绕第三问进行探究,重点剖析了求导分析与先猜后证(巧妙结合特殊点与前一问结论)两种核心解法,揭示其数学本质;同时点明题目蕴含的工程背景(射频信号谐波叠加模型),并从教学角度强调回归通法、融合高观点及培养数学直觉的重要性．
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素质教育不断深化,美育的重要性也愈加凸显．广大教师要与时俱进,迎合时代趋势,在学科教学中有效渗透美育,为学生德智体美劳全面发展保驾护航．数学是中职学校的重要课程,其中蕴藏着大量美育元素,在美育渗透方面具有得天独厚的优势．教师应当充分把握学科特征,深入挖掘、探寻其背后的美育内容,将其与数学知识有机融合起来,实现“美智共育”,让学生在习得丰富数学知识、技能的同时,形成良好的审美观念,为未来成长发展奠基．鉴于此,文章以中职数学教学为载体,重点探究美育渗透的意义、路径,希望提供有益参考．
针对当前高三一轮复习中存在的机械训练轻概念理解、题型归纳忽略思想方法、资源繁多缺乏“主心骨”等问题,提出“以章小结图为结构支架、以课后习题构建训练题组、以教材例题进行解法优化”三条教材内容使用策略,以实施高三结构化教学,并通过“复杂事件概率问题的研究路径”课时的设计与实施进行说明．
随着教育改革的不断深入,高中数学教育已经从单纯的知识传授逐步转向为核心素养的全面培养．核心素养的培养,强调学生在学习过程中形成适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力．跨学科融合式教学作为一种新兴的教学模式,旨在打破传统学科的界限,通过整合多学科知识,促进学生综合素养的提升和创新能力的培养．本文中以高中数学核心素养为基础,通过分析跨学科融合教学的必要性及意义,并根据当前跨学科教学实践面临的挑战与问题,提出实施策略和应对实践挑战的对策,以期为高中数学教育的改革与创新提供有益借鉴．
在素养立意的新高考背景下,高中数学教师要落实立德树人根本任务,必须立足课堂教学,创新问题情境,回归数学本质．有效教学作为重要的路径,对数学教学具有重要的意义．数学教师应深入研究教材、了解学生、启发思考,引导学生把握数学本质,激发学生内驱力,让有效教学真正落地．文中基于具体的教学案例,得出了数学课堂中实施有效教学的几点启示．
探讨平面几何在高中数学解题中的应用,以期提升高中生的平面几何素养,通过例题展示了在三角函数的应用中,通过构造特定的三角形并利用正弦定理,将角度的三角函数值与边长联系起来;在三角形的应用中,将三角形的边长和角度关系转化为可以计算的数学问题;在向量问题中,结合向量模长和方向以及点在圆上的轨迹,确定了向量夹角的取值范围;在圆锥曲线的应用中,通过理解抛物线的性质,利用直角三角形和勾股定理,解决了涉及抛物线的几何问题．表明应用平面几何知识,可以提高学生的数学解题能力,促进数学知识的深入理解和应用．
跨学科小组学习汇报课是在传统复习课基础上的一次突破,是自然科学和人文与社会科学配合教学的一次尝试．文中以“一元函数的导数及其应用”一章的复习课为例,展示学生围绕主题“深刻理解导数概念、导数几何意义以及蕴含的数学思想”来跨学科整合导数在各个学科领域的应用．课前,学生按照兴趣分组,确定了六个跨学科子课题组,即物理组、经济组、生物组、医学组、科技1组、科技2组,并按要求完成小组学习报告．课上,各小组以小组汇报的形式展示小组研究成果,展示导数在不同学科、不同领域的丰富应用．课后,通过分析学生课题报告中的“课题学习的感想与自我评价”,了解此次授课对学生在情感与态度方面的积极影响．
如何提高课堂教学效率?如何提升学生学习效果?如何让学生突破浅层学习达到深度学习?基于解决这一系列问题的困惑,以深度学习理论为指引,设计了“点到直线的距离公式的推导及应用”的教学设计,把理论渗透到教学设计当中,以求达到学生的深度学习,并以此为例,寻求教师教学效率的提升．
圆锥曲线中的定点定值问题是“圆锥曲线的方程”一章节的重难点,题中点线关系错综复杂,如何分析条件和问题是关键．以“椭圆中持定点定值问题”一节课为例,引导学生从四个不同的角度翻译条件,使题目的难度呈梯度下降．再从特殊到一般,让学生找到题中涉及的几个定量,推出其间关系,举一反三,从而解决一类问题．
函数的概念常规教学往往忽略其文化背景,导致学生对函数概念的再次学习产生困惑,知其然而不知其所以然．本文中基于HPM视角,采用重构、附加等方式对函数的概念这一课题进行教学设计,注重知识的发展过程,帮助学生从本质上理解函数的概念．同时,在课堂教学过程中充分发挥数学史的育人功能,注重学生学习过程中数学核心素养及数学思想方法等方面的培养．
罗建宇校长“代数视角助力几何直观”公开课以“代数—几何”双向互构为逻辑主轴,跳出知识罗列与技巧堆砌的传统教学模式,从代数式变形的几何意义、轨迹问题中的几何导航、数形融合的思维进阶三个维度,揭示了解析几何“几何属性指引代数运算,代数视角诠释几何本质”的本体论内核．本文中基于对该公开课的听课反思,剖析其教学设计的深层逻辑与实践启示,提出解析几何教学应立足“结构解构”“几何本源”的核心原则,通过重构教与学的思维坐标,实现学生数形结合素养的深度发展．
以单元课时作业的设计、实施及评价为例,尝试以作业为依托,促进在教学实践中落实教-学-评一致性．
课后作业作为教师检验学生课堂学习成果的重要方式,同时也是学生自我检验、自我评价的有效手段,因此在“双减”和数学核心素养的双重背景下,制定科学的作业计划,全面提升作业质量对于师生双方都有着显著的意义．文中基于高中数学作业质量现状的深层分析,给出了提升作业质量的策略．
高中数学立体几何是高考的重要考点,基于2023—2025年的新高考数学“立体几何”试题,首先进行试题统计与整体分析,接着从纵向和横向两个角度分析试题考查特点,并进行命题趋势分析．
高中代数学习中,基本不等式求最值是重点,也是学生学习的难点．学生常无法直接满足“一正、二定、三相等”的不等式成立条件．基于此,聚焦最值问题的条件构造,通过典型例题重点说明两种构造策略,助力学生突破解题思维障碍．
复合函数求导在高中导数计算中应用频繁,尤其在三角函数构成的复合表达式中,结构层级复杂易致表达错误．文章围绕链式法则在三角函数复合求导中的具体运算路径,分析学生常见的推导顺序混乱、内外函数识别错误与符号处理不当等典型问题,梳理复合结构识别要点与变量控制顺序,辅以典型例题展开计算过程与易错点对比解析,构建表达准确性与操作稳定性并重的训练框架,提出面向教学实践的表达训练,以提升学生函数结构化求导能力．
学生在高中几何解题中暴露出来的问题,不只是知识层面存在欠缺,更深入地反映出认知方式和思维习惯不足．针对这一现象从解题策略和认知机制两个维度进行分析．立体几何、解析几何,以及平面向量与几何的结合三大模块各有不同思维规律和解题路径,双重编码、模式识别与工作记忆管理共同构成几何解题的认知基础,解题后的元认知反思是把策略经验内化为稳定认知结构的关键环节,为学生解题能力的提升提供帮助．
新定义题是高考常见问题,它主要考查学生的知识获取、实践操作、思维认知三个方面的数学关键能力．常从结构特征的归纳与思想方法的顺延两个角度取“特例”之势,来突破“新定义题”的难点,从而探索发展学生数学关键能力的有效途径．
聚焦高中数学新定义试题,以高考真题为背景,深入剖析其特征、解题策略及对教学启示,旨在为高中数学教学提供有益参考,提升学生应对此类试题的能力和数学素养．
教材是教师教学和学生学习的重要材料,同时也是高考命题的重要参考．本文中详细探究了一道高考解三角形试题的不同解法,同时也探究这些解法的思想方法在教材知识生成过程中的出处,以及教材中的题源出处．最后得出了相应的教学启示,从而为教师的教学和学生的学习提供参考．
含参恒成立问题是高中考查的重点与难点．而极点效应作为一种独特而有效的方法,为解决此类问题提供了新的思路,步骤通常分为4步．第一步,观察特殊点;第二步,确定极值点;第三步,计算参数值;第四步,验证．运用极点效应解决问题需要熟练掌握导数的运用,还需要具备严谨的逻辑思维和敏锐的观察力．
通过近几年圆锥曲线高考试题的解析,探究求解定点与定值问题的不同方法和逻辑通路,旨在引导学生学会分析问题和解决问题的方法,在探究求解思路的过程中培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．
针对概率统计中的一阶递推数列、二阶递推数列和数列求和三类题型,结合例题展示了概率与数列知识的结合,并深入分析了解题思路,帮助学生掌握解题技巧,提升解题能力．
<正>解三角形是高考数学必考点,其通常以熟悉的平面几何图形为载体,侧重考查解三角形(正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式)与三角恒等变换知识在解题中的综合运用,以2020年江苏高考数学真题为例,通过一题多解的形式,以培养学生的数学解题能力,提升考生的数学核心素养．
圆锥曲线中动点的轨迹及其综合应用,是高考命题中的一个基本考查点．结合圆锥曲线轨迹方程的求解技巧与策略,并结合实例剖析与应用,提炼可推广的求解方法,有效指导数学教学与复习备考．
<正>尽管求解三角形面积的最值问题,我们经常遇到,但是以三角形内切圆为载体,求解三角形面积的最值问题却是比较新颖、陌生的．基于此,本文中着重研究一道此类具有创新情境的解三角形试题,旨在帮助学生拓宽解题思维方法,提高对数形结合方法的灵活运用能力,进一步提升直观想象、数学运算以及逻辑推理方面的核心素养．
三角函数是高考的必考内容,其中考查三角函数中ω取值范围的题目综合性较强,侧重于函数的图象和性质．解决这类问题的思路方法多样,但能提炼出通用解法的研究较少．本探究基于周期函数的零点分布理论、单调区间与周期的关系等理论依据,结合整体换元思想和数形结合思想,系统归纳求解ω取值范围的“三步法”,明确其适用范围与注意事项,旨在形成通性通法,提升学生的数学核心素养．
数学竞赛试题因其内容的广泛性与深刻性,其解答包含着丰富的数学思想和方法．基于此,以一道竞赛试题为例,从结构特征、数量关系、图形特征等不同视角展开思考,利用三角代换法、整体换元与辅助角公式法、几何直观法、求导法,以及构造等差数列模型、向量模型等方法进行解题．
<正>利用数学知识解决实际问题,是命题的热点．在处理某些最优化的实际问题中,往往需建立三角函数模型,如何求三角函数最值,是破解这类问题的关键．当单纯地应用三角函数的有关知识与方法不容易解决时,导数能帮助我们实现问题的突破．1铺设电缆线费用最低问题勤俭节约,反对铺张浪费,有时还要技术的支持,而这个技术就来自数学运算．例如,人们生活中电缆线铺设方案的选择,经过严格的计算才可明辨孰优孰劣．
基于立体几何的“三维”问题与平面解析几何的“二维”问题,二者之间的交汇与转化是经常出现的．借助立体几何问题的场景创设,合理融合平面解析几何知识,从几个常见的命题视角切入,就截面图形、动点转化与翻折变化等情况结合实例加以剖析,总结技巧与规律,以指导数学教学与复习备考．
当前大中小幼数学教育存在明显的学段壁垒,导致知识重复、断层、学生认知发展不连贯等问题,因此进行了大中小幼数学教育一体化教师发展的研究．文中首先阐述了大中小幼数学教育一体化的核心内涵,并分析了一体化视域下教师发展面临的三大现实挑战,进而从培训体系构建、协作共同体搭建、评价机制完善三个维度提出具体发展路径,为推动基础教育数学学科育人质量整体提升提供理论参考与实践范式．
文章首先分析了函数专题在高考数学中的重要地位,然后分别从夯实基础、抓住重点、突破难点三个方面提出了具体的复习策略．
解答高中数学平面向量习题,除了运用平面向量的线性运算、坐标运算、平面向量数量积等知识,还可以借助极化恒等式将平面向量数量积转化为模之间的关系,快速找到解题思路．本文中主要介绍极化恒等式相关结论,展示极化恒等式在平面向量解题中的应用．
空间共面向量定理是判断空间中三个向量是否共面的重要依据．事实上,在高中数学解题中常常遇到四点共面相关的情境．为更好地解答相关习题,本文中对空间共面向量定理做进一步的拓展,探讨相关的结论,并结合习题展示结论的具体应用．
椭圆是高中数学系统介绍的一类圆锥曲线．椭圆相关习题计算量大,对运算能力要求较高．运用椭圆蒙日圆性质进行解题,可以达到提高计算效率的效果,用于解答选择题、填空题优势明显．
椭圆焦点三角形是高考的常考内容．明确椭圆焦点三角形相关结论的来龙去脉,提高在解题中的应用意识,能够少走弯路,迅速找到解题的切入点．本文中简单介绍椭圆焦点三角形的相关结论,并依托具体习题展示其在解题中的应用．
高中数学解题能力是由认知、思维和策略这三方面构成的．认知结构具体体现为对数学概念理解及运用知识的能力,这是解题的基础所在;思维结构体现为数学推理和逻辑分析的能力,为解题过程提供有力支持;策略结构指的是选择并实施解题方法的能力,它决定了解决问题的实际效率．这三个方面相互联系且相互促进,共同组成完整的解题能力体系．通过分析解题能力的构成情况,能够揭示高中数学学习过程中的内在规律,为教学改革提供相应的理论基础．研究显示,不同难度的数学问题对这三个方面要求不同,随着题目难度增加学生更需多启用高层次思维,运用灵活多样的解题策略．
平方关系“sin~2α+cos~2α=1”是同角三角函数基本关系式的一个基础公式,其应用技巧与策略备受关注．结合实例,就平方关系的4种数学思维“整体思维、方程思维、平方思维、对偶思维”的应用技巧策略加以剖析,指导数学教学与解题研究．
在当前高中数学函数教学与高考命题背景下,含参问题已成为考查学生数学思维与综合能力的重要载体,其中二次函数含参问题最具代表性．教学实践中,分类讨论思想虽被频繁使用,但存在分类依据模糊、适用范围不清、过度依赖形式等现象,易削弱其解题价值．因此,研究围绕二次函数中的交点个数与最值等典型题型,系统考查分类讨论思想的实际适用情形,有助于厘清其应用边界,凸显其在规范解题思路与优化分析路径中的核心作用,为提高含参问题的教学针对性与解题有效性提供理论支持与实践参考．
本文中首先分析了数学创新思维和实践能力的内涵及特点,然后阐述了二者对高中生学习成果的影响,最后提出了具体的培养策略,包括教师的引导策略、学生的自我评价策略以及社会环境的营造策略．
不等式求最值问题是高中数学中的重要内容,也是高考试题中的常见题型．不等式求最值问题的解法有很多,从不同角度分析会得到不同的解法,文章以一道不等式求最值题为例,探讨了不等式求最值问题的解题规律．
高中数学中平面向量习题灵活多变,解题方法因题而异,其中转化法应用率高．根据题干创设的情境,可通过将平面向量问题转化为一元二次函数、两点间的距离、对应图形、三角函数问题顺利求解．为展示转化过程,体现转化细节,文中结合具体例题加以说明．
在当前高中数学课程改革和应用型命题趋势下,函数最值问题成为导数应用的重要考查方向．实际应用题中,学生常因模型构建不当、计算步骤混乱或忽视边界条件,导致最值判断失误．为此,围绕典型实际问题,梳理常见题型并提炼求解策略,有助于构建系统化的解题思维路径,增强学生的综合应用能力和数学素养．
高中数学涉及较多的函数,其中三次函数虽然在高中阶段并未系统介绍,但是在高考中多有考查．掌握三次函数的图象及其性质,可以在解题中少走弯路,提高相关习题的解题效率．鉴于此,本文中介绍三次函数的图象及相关性质,并依托具体习题展示如何运用三次函数的图象及性质解题．
导数不仅是高中数学的重要知识,而且是解决函数问题的有效工具．高中数学中的不等式问题常常与函数结合起来,具有一定的综合性．解决不等式问题,可以先将其等价转化为函数问题,再运用导数知识,通过对函数求导,研究函数的单调性,顺利找到解题的突破口．
从函数定义域及值域之间的关系视角,可以将函数分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．其中奇函数、偶函数有着各自的特点,奇函数关于原点对称、偶函数关于y轴对称．运用奇偶函数的对称性,能很好地解决高中数学中的求值、求取值范围、解不等式以及函数零点个数问题．本文中结合实例进行说明,供参考．
等差数列是高中数学中比较重要的一种数列．解决等差数列问题,应在理解其定义的基础上,灵活运用相关的性质．等差数列的性质较多,应在理解的基础上加强记忆,并在做题中不断地纠正理解上的偏差,提高应用的灵活性、正确性．
线性运算是平面向量最基础的运算,包括向量的加法、向量的减法,主要遵循平行四边形法则和三角形法则．运用平面向量线性运算,能够很好地解决高中数学中的一些几何习题．本文中展示平面向量线性运算在求值问题、最值问题、求线段长及求范围问题中的应用,进一步加深学生对该运算规律的理解与掌握．
求递推数列通项是高中数学教学的重点与难点．不动点法是求解这类问题的有效策略,尤其适用于分式型递推数列．本探究以分式递推式为研究对象,阐述不动点法的原理及应用．说明不动点法化简递推关系、求解通项公式的具体步骤,先求解不动点,再进行数列变换,最终推导通项公式．不动点法可显著简化分式递推式的求解过程,帮助学生掌握通项求法,提升数学思维能力．
<正>一、特色栏目(子栏目名称根据论文主题确定)用于名师工作室、教研项目等有统一主题的系列文章连续发表。二、课程视点(子栏目:数学教育、课标解读、教材点击)的选题方向1.数学教育中的德育渗透(课程思政)、美育渗透;2.数学文化、数学史、中华优秀传统文化、革命文化、社会主义先进文化等与数学教育的融合;3.2025年高中课标修订的解读;4.高中和初中新教材修订的解读以及教学实践;5.综合与实践(数学建模与数学探究等)课程开发与教学实践。三、教法探索(子栏目:教学研究、教学导航、案例赏析)的选题方向1.结构化教学(单元整体教学、大概念教学等小初高大纵向贯通式教学)的设计与实施;2.数学跨学科主题学习(不同学科横向贯通融合)的深度融合路径及实践探索;3.项目式学习的实践探索;4.问题情境创设的实践探索;5.生成式AI支持数学个性化教学的实践路径。
<正>金怡濂,1929年出生于天津市,江苏常州人。1951年毕业于清华大学电机系,1956—1958年,赴苏联科学院精密机械与计算技术研究所进修。中国计算机专家、教育家。中国工程院首批院士、中国巨型计算机事业开拓者、国家最高科学技术奖获得者。金怡濂主要从事电子计算机体系结构、高速信号传输技术、计算机组装技术等方面研究。他作为技术骨干相继参加了中国第一台大型电子计算机和多种通用机、专用机的研制。20世纪70年代初,他主持了双机并行计算机系统的研制,在我国大型计算机系统中采用双机并行处理技术并获成功。